勒贝格空间（勒贝格空间范数）〔勒贝格空间的范数〕

在数学中 ，Lp空间是由p次可积函数构成 的空间对应的#8467p空间是由p次可和序列构成 的空间它们偶然 叫做勒贝格空间，以昂利·勒贝格定名 ，只管 依据Bourbaki 1987它们是Riesz 1910起首 参与 在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了巴拿赫空间一类紧张 的例子Lp空间在工程学范畴 的有限元分析中有应 。

勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度面积大概 体积的标准 方法它是基于开矩形覆盖来界说 的 ，可以对更复杂的聚集 如曲线曲面等举行 有效 的丈量 勒贝格测度的引入，使得很多 实分析中的概念得以严格 化，特别 是用于界说 勒贝格积分。

举例来说 ，假如 A是一个区间a，b，那么其勒贝格测度是区间长度ba开区间a ，b的长度与闭区间一样，由于 两聚集 的差是零测集假如 A是区间a，b和c ，d的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积badc勒贝格测度是数学上的一种方法 ，用于界说 欧几里得空间的子集的。

测度为更一样平常 的空间中的聚集 界说 了雷同 长度的概念，从而可以或许 “丈量 ”更不规则的函数曲线下方图形的面积，从而界说 积分在一维实空间中，一个区间A= a ，b 的勒贝格测度μA是区间的右端值减去左端值，b#8722a这使得勒贝格积分和正常意义上的黎曼积分相兼容在更复杂的环境 下，积分的聚集 可以。

内积空间和希尔伯特空间的界说 涉及到线性空间的内积 ，它满意 正定性线性和共轭对称性假如 内积空间是完备的，即满意 巴拿赫空间的条件，那么它就被称为希尔伯特空间比方 ，勒贝格平方可积函数空间L^2α，b，是希尔伯特空间的一个例子 ，其内积是通过函数在区间上的积分界说 的希尔伯特空间中的紧张 性子 包罗 。

L是lebesgue，可看勒贝格测度P是Pnorm，范数空间P代指某种范数 ，比如 2范数空间，即L2 即希尔伯特空间。

着实 黎曼积分与勒贝格积分大要 上是相似的 1一个显而易见的上风 是Riemann可积函数都是Lebesgue可积函数，以是 Lebesgue积分可以看作是Riemann积分的拓展2Lebesgue积分最紧张 的上风 应该是它关于极限的性子 ，这些性子 使得Lebesgue可积函数列逐点收敛的极限一样平常 也是Lebesgue可积的以是 很多 Lebesgue可积函数相干 。

测度空间measure space界说 了测度的可测空间设 ，f2 ， 是可测空间，产是挤上的测度f2` 称为测度空间当产是了上的有限测度有限测度时 ，相应地称，f2，是有限测度空间有限测度空间在各种特别 环境 下 ，相应有勒贝格测度空间勒贝格一斯蒂尔杰斯测度空间波莱尔测度空间 。

注勒贝格可积的函数全体构成的间隔 空间是完备的，使得勒贝格积分在积分方程和函数空间的理论中长期 地占据 紧张 的位置控制函数的须要 性 控制收敛定理可以或许 创建 的一个紧张 因素是存在一个可积的函数，使得函数列收敛的过程可以或许 “安全”举行 假如 缺少这个条件 ，变更 运算序次 就大概 会导致各种结果 。

勒贝格积分就是如许 的一种积分 黎曼积分对初等函数和分段连续 的函数界说 了积分的概念，勒贝格积分则将积分的界说 推广到测度空间里界说 积分方法不止一种，各种界说 之间也不是完全等价的此中 的差别 重要 是在界说 某些特别 的函数在某些积分的界说 下这些函数不可积分 ，但在另一些界说 之下它们的积分存在。

可φx是E上的一个非负简单 函数，记E表现 为有限个互不相交的可测集非负简单 函数肯定 勒贝格可积勒贝格积分，是当代 数学中的一个积分概念，将积分运算扩展到任何测度空间中 。

Banach空间就是完备的赋范线性空间巴拿赫空间有两种常见的范例 “实巴拿赫空间”及“复巴拿赫空间” ，分别是指将巴拿赫空间的向量空间界说 于由实数或复数构成 的域之上很多 在数学分析中学到的无穷 维函数空间都是巴拿赫空间，包罗 由连续 函数紧致赫斯多夫空间上的连续 函数构成 的空间由勒贝格可积函数构成 。

很多 在我们学习数学分析时所打仗 的无穷 维函数空间，实际 上都是巴拿赫空间的例子 ，比如 连续 函数构成的紧致赫斯多夫空间，勒贝格可积函数构成 的L空间，以及全纯函数构成 的哈代空间这些空间不但 是拓扑矢量空间的典范 代表 ，它们的拓扑布局 直接源自于其界说 的范数巴拿赫空间的名称泉源 于波兰数学家斯特凡·巴拿赫。

定理设f是界说 在可测集E上的实函数，下列任一个条件都是在E上勒贝格可测的充要条件对任何有限实数a，Ef=a都可测对任何有限实数a ，Eflta都可测对任何有限实数a，Ef=lta都可测对任何有限实数a，b ，Ea=ltfltb都可测设X，F为一可测空间，E是一个可测集f 。

平面地区 的二重积分可以推广为在高维空间中的有向曲面上举行 积分，当被积函数大于零时 ，二重积分是柱体的体积，当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值勒贝格积分 勒贝格积分的出现源于概率论等理论中对更为不规则的函数的处理 惩罚 必要 黎曼积分无法处理 惩罚 这些函数的积分题目 因此 ，必要 更为广义上的。

勒贝格积分的概念界说 在测度的概念上测度是一样平常 概念中丈量 长度面积的推广，将其以公理化的方式界说 黎曼积分实际 可以当作 是用一系列矩形来尽大概 铺满函数曲线下方的图形，而每个矩形的面积是长乘宽 ，大概 说是两个区间之长度的乘积测度为更一样平常 的空间中的聚集 界说 了雷同 长度的概念，从而可以或许 “丈量 ”。

书中不但 汇聚了数学定理和界说 ，还提供了开导 性题目 ，旨在深化读者对书中内容的明白 在实变函数论部分 ，本书从底子 出发，渐渐 深入 ，不但 先容 了勒贝格测度和勒贝格积分，还涵盖了与之相干 的各种概念和性子 ，旨在构建坚固 的知识底子 对于抽象空间部分 ，作者以清楚 的逻辑 ，具体 分析 了拓扑空间度量空间巴拿赫 。

勒贝格积分，在最简单 的环境 下，对一个非负值的函数的积分可以看作是求其函数图像与轴之间的面积勒贝格积分则将积分运算扩展到别的 函数 ，而且 也扩展了可以举行 积分运算的函数的范围相干 拓展 勒贝格积分的应用值得指出的是很多 拓扑向量空间比如 希尔伯特空间大概 巴拿赫空间中的定理以及此中 的极限运算。